Irgendetwas mache ich falsch. Hier lässt sich Opera Stable problemlos als Standardbrowser einrichten und zwar sowohl aus Opera heraus, als auch direkt in den Einstellungen von Windows und das war nie anders.
Den bzw. die Opera-Profil-Ordner zu löschen ist überflüssig. Opera 25 taucht als Opera Stable in den Einstellungen > Standardprogramme auf.