Только что вышел и учетной записи Opera, а потом снова зашел-синхронизация работает.

Попробуйте зайти на сервер синхронизации Opera : sync.opera.com/web/. Если вы зайдете, значит проблема с вашей стороны. Закройте Opera и очистите систему через CCleaner или нажмите Ctrl+Shift+Delete и выполните эту процедуру в браузере. Зайдите через Приватное окно (Ctrl+Shift+N) Отключите, если включено Opera Turbo(Меню/Opera Turbo) Проверить компьютер на наличие вредоносных программ, например, Dr.Web CureIt! В папке Prefetch (С:\WINDOWS\Prefetch) удалите все файлы с упоминанием браузера(Например : OPERA.EXE-6DB9CDD6.pf), если такие имеются. Отключите временно свой антивирус и фаервол проверьте файл hosts