Можно.
Создаёте на рабочем столе ярлык, где исполняемой командой будет такая строка (путь может быть иной, это у меня такой):
"C:\Program Files (x86)\Opera\Launcher.exe" /private
Назвать ярлык можете как угодно, например, "Опера-приват".
Далее как обычно...запускаете по ярлыку, работаете, закрываете...никаких следов не будет.