Если в настройках Оперы указано при запуске "продолжать с того же места", то Опера будет открывать страницы, которые были открыты при её предыдущем закрытии. Если это не тот случай, проверьте компьютер на вирусы с помощью какого-либо антивирусного пакета. Проверьте, нет ли подозрительных плагинов в opera:plugins и расширения в opera:extensions (хотя расширения обычно берутся из официального хранилища). Можно ещё проверить ярлык, с помощью которого вы запускаете Оперу - нет ли там чего-то подозрительного.