Opera アカウントによる同期機能では、Opera の設定も同期できますので、radiko などで再生できない設定で同期されているのかもしれませんね。

Opera アカウントに同期した状態で、設定のウェブサイト → フラッシュで「重要なフラッシュのコンテンツを検知して実行する（推奨）」か「フラッシュを実行するサイトを 許可する」になっているか確認してみてください。
また、例外の管理で該当のウェブサイトでフラッシュが禁止されていないかもご確認ください。